Black-Scholes Optionspreis- und Griechen-Rechner
Bewerte europäische Calls und Puts, lies jeden Griechen ab und ermittle die implizite Volatilität
d1 = [ln(S/K) + (r + v^2 / 2) T] / (v sqrt(T))
d2 = d1 - v sqrt(T)
Call-Preis = S N(d1) - K e^(-rT) N(d2)
Put-Preis = K e^(-rT) N(-d2) - S N(-d1)
d1 = 0.3500, d2 = 0.1500
Das Black-Scholes-Modell erklärt
Black-Scholes ist das geschlossene Modell, das den modernen Optionshandel ermöglicht hat und seinen Autoren einen Nobelpreis einbrachte. Es bewertet eine europäische Option aus fünf Eingaben: dem Spot-Preis des Basiswerts, dem Strike, der verbleibenden Zeit bis zum Verfall, dem risikofreien Zins und der erwarteten Volatilität. Die Grundidee ist, dass eine Option durch fortlaufenden Handel mit dem Basiswert und Kasse nachgebildet werden kann, sodass ihr fairer Wert den Kosten dieses replizierenden Portfolios entspricht. Aus diesen Eingaben bildet das Modell zwei Terme, d1 und d2, und kombiniert sie mit der Normalverteilung, um einen einzigen theoretischen Preis zu liefern. Dieser Rechner führt die exakte Formel in deinem Browser aus, sodass du siehst, wie ein Preis reagiert, sobald du eine Eingabe änderst.
Die Options-Griechen lesen
Die Griechen verwandeln einen einzelnen Preis in ein Risikoprofil, das dir zeigt, wie sich eine Position verhält, wenn sich der Markt bewegt. Delta ist am direktesten: Es ist ungefähr, wie viele Dollar die Option bei einem Anstieg des Basiswerts um einen Dollar gewinnt, und es nähert zugleich die Wahrscheinlichkeit an, im Geld zu enden. Gamma misst, wie schnell sich Delta selbst verschiebt, weshalb sich Optionen nahe am Geld kurz vor dem Verfall so nervös verhalten. Vega erfasst die Empfindlichkeit gegenüber Volatilität, Theta erfasst den täglichen Verfall durch Zeitwertverlust und Rho erfasst die Empfindlichkeit gegenüber Zinsen. Trader beobachten sie gemeinsam, denn zwei Optionen mit demselben Preis können völlig unterschiedliche Risiken tragen, und die Griechen sind das Mittel, um sie zu unterscheiden.
Implizite Volatilität und warum sie wichtig ist
Die Volatilität ist die einzige Black-Scholes-Eingabe, die du nicht direkt beobachten kannst, also arbeitet der Markt rückwärts: Welche Volatilität muss eingesetzt werden, um den Preis zu reproduzieren, zu dem eine Option tatsächlich gehandelt wird? Diese Zahl ist die implizite Volatilität, und sie stellt die Prognose des Marktes dar, wie stark sich der Basiswert bis zum Verfall bewegen wird. Im Modus Implizite Volatilität dieses Tools gibst du statt einer Volatilitätsangabe den Marktpreis an, und ein Newton-Raphson-Löser iteriert über Vega, bis der Modellpreis übereinstimmt. Steigende implizite Volatilität verteuert jede Option, und der Vergleich von impliziter mit realisierter Volatilität ist eine der häufigsten Methoden, mit denen Optionshändler entscheiden, ob Kontrakte günstig oder teuer erscheinen.
Annahmen und Grenzen
Black-Scholes ist mächtig, beruht aber auf vereinfachenden Annahmen, die nie perfekt zutreffen. Es setzt eine konstante Volatilität, einen konstanten risikofreien Zins, keine Dividenden, reibungslosen Handel ohne Gebühren und Renditen voraus, die einem glatten lognormalen Pfad folgen. Reale Märkte reißen Lücken, springen und zeigen ein Volatilitäts-Smile, bei dem aus dem Geld liegende Optionen zu anderen impliziten Volatilitäten gehandelt werden, als das Modell vorhersagt. Die Formel bewertet zudem europäische Optionen, die nur bei Verfall ausgeübt werden können, sodass sie eine Näherung für amerikanische Kontrakte ist, die eine vorzeitige Ausübung erlauben. Behandle das Ergebnis als rigorose Grundlage und Sensitivitätskarte, nicht als garantierten Marktpreis, und gleiche es stets mit Live-Kursen ab.